Таблица правды

Что такое таблица правды:

Таблица истинности или таблица истинности - это математический инструмент, широко используемый в области логического мышления. Его целью является проверка логической обоснованности составного суждения (аргумент, образованный двумя или более простыми суждениями).

Примеры составных предложений:

Джон высокий, а Мария низкая.
Педро высокий или Джоанна блондинка.
Если Педро высокий, то Джоанна красная.

Каждое из предложений, составленных выше, состоит из двух простых предложений, соединенных жирным шрифтом со связями. Каждое простое предложение может быть как истинным, так и ложным, и это напрямую подразумевает логическую ценность составного предложения. Если мы примем фразу « Джон высокий, а Мария низкая », возможные оценки этого утверждения будут следующими:

Если Джон высокий, а Мария низкая, фраза «Джон высокий, а Мария низкая» - ИСТИНА.
Если Джон высокий, а Мария невысокая, фраза «Джон высокий, а Мария низкая» - ЛОЖЬ.
Если Джон невысокого роста, а Мария невысока, фраза «Джон высок, а Мэри низка» - ЛОЖЬ.
Если Джон невысокий, а Мария невысокая, фраза «Джон высокий, а Мария низкая» - ЛОЖЬ.

Таблица истинности схематизирует эти же рассуждения (см. Раздел «Соединение» ниже) более непосредственно. Кроме того, правила таблицы истинности могут применяться независимо от количества предложений в предложении .

Как это работает?

Во-первых, включите предложения вопроса в символы, используемые в логике. Универсально используемый список символов:

символ	Логическая операция	смысл	пример
р	,	Предложение 1	p = Джон высокий.
Q	,	Предложение 2	q = Мэри низкая.
~	отказ	не	Если Джон высокий, « ~ p » - ЛОЖЬ.
^	конъюнкция	и	p ^ q = Джон высокий, а Мария низкая.
v	дизъюнкция	или	p v q = Джон высокий или Мэри низкая.
→	условный	если так	p → q = Если Джон высокий, то Мария низкая.
↔	biconditional	если и только если	p ↔ q = Джон высокий, если и только если Мария низкая.

Затем составляется таблица со всеми возможностями оценки составного предложения, заменяя утверждения символами. Следует пояснить, что в случаях, когда существует более двух предложений, они могут обозначаться буквами r, s и т. Д.

Наконец, применяется логическая операция, определенная показанной связкой. Согласно приведенному выше списку, эти операции могут быть: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, условная и двухусловная.

отказ

Отрицание символизируется ~. Логическая операция отрицания является самой простой и часто обходится без использования таблицы истинности. Следуя тому же примеру, если Джон высокий (р), сказать, что Джон не высокий (~ р), ЛОЖЬ, и наоборот.

конъюнкция

Соединение символизируется ^ . Пример «Джон высокий, а Мария низкая» будет обозначаться как «p ^ q», а таблица истинности будет иметь вид:

Соединение предлагает идею накопления, поэтому, если одно из простых утверждений ложно, составное предложение не может быть истинным.

Вывод : составные конъюнктивные суждения (содержащие соединительный e ) будут верны только тогда, когда все их элементы верны.

Пример:

Пауло, Ренато и Тулио добры, а Кэролайн веселая. - Если Пауло, Ренато или Тулио не любезны или Каролина не смешная, предложение будет ЛОЖНЫМ. Необходимо, чтобы вся информация была правдивой, чтобы составное суждение ИСТИНА.

дизъюнкция

Дизъюнкция символизируется v . Обменяясь соединением из приведенного выше примера на или у нас будет «Джон высокий или Мэри низкая». В этом случае предложение будет обозначено символом «p v q», а таблица истинности будет иметь вид:

Разъединение подразумевает идею чередования, поэтому достаточно того, что одно из простых утверждений верно, так что соединение тоже.

Вывод : дизъюнктивные составные суждения (содержащие или соединительные) будут ложными только тогда, когда все их элементы ложны.

Пример:

Моя мама, папа или дядя сделают мне подарок. - Для утверждения, чтобы быть ИСТИННЫМ, достаточно, чтобы только один между матерью, отцом или дядей дал подарок. Предложение будет ЛОЖНЫМ, только если ни один из них не даст его.

условный

Условное обозначается символом →. Это выражается самими связями и затем, которые связывают простые предложения в причинно-следственной связи. Пример «Если Пауло Кариока, то он бразилец» становится «p → q», и таблица истинности будет:

У условных выражений есть одно предшествующее и одно последовательное суждение , разделенные связующим элементом . При анализе условных выражений необходимо оценить случаи, когда суждение может быть возможным, учитывая отношение импликации между предшествующим и последующим.

Вывод : условные составные суждения (содержащие связности тогда и только) будут ложными, только если первое суждение истинно, а второе суждение ложно.

Пример:

Если Пауло Кариока, то он бразилец. - Чтобы это предложение считалось ИСТИННЫМ, необходимо оценить случаи, в которых оно ВОЗМОЖНО. Согласно приведенной выше таблице истинности, мы имеем:

Пауло бразилец / Пауло бразилец = ВОЗМОЖНО
Пауло кариока / Пауло не бразилец = НЕВОЗМОЖНО
Пауло не из Кариоки / Пауло - бразилец = ВОЗМОЖНО
Пауло не Кариока / Пауло не бразилец = ВОЗМОЖНО

biconditional

Двухусловное обозначается символом ↔. Он читается через связки тогда и только тогда, когда они соединяют простые предложения в отношение эквивалентности. Пример «Джон счастлив, если и только если Мария улыбается». становится "p ↔ q" и таблица истинности будет:

Двусторонние предполагают идею взаимозависимости. Как показывает само название, биконусловие состоит из двух условных выражений: одно отходит от p к q (p → q), а другое - в противоположном направлении (q → p).

Вывод : предложения, составленные в двух условных выражениях (содержащие соединительные элементы тогда и только тогда ), будут истинными, только когда все предложения истинны или все предложения ложны.

Пример:

Джон счастлив, если и только если Мария улыбается. - Это означает, что:

Если Джон счастлив, Мария улыбается, и если Мария улыбается, Джон счастлив = ИСТИНА
Если Жуан не счастлив, Мария не улыбается, а если Мария не улыбается, Жуан не счастлив = ИСТИНА
Если Джон счастлив, Мэри не улыбается = ЛОЖЬ
Если Джон не счастлив, Мария улыбается = ЛОЖЬ

Общий обзор

Ученым таблицы истинности свойственно запоминать выводы каждой из логических операций. Чтобы сэкономить время на решении проблем, всегда имейте в виду, что:

Конъюнктивные предложения: они будут верны только тогда, когда все элементы верны.
Разъединительные предложения: они будут ложными только тогда, когда все элементы ложны.
Условные предложения: они будут ложными только тогда, когда первое утверждение верно, а второе ложно.
Двусторонние предложения: они будут верны только тогда, когда все элементы верны или все элементы ложны.